|
1. Производная степени
Производную любой степени с натуральным показателем можно получить,
пользуясь правилом дифференцирования произведения. Например, для
нахождения производной функции
представим
как
Зная производные функций
и
вычислим производную произведения:
Выпишем формулы:
Легко заметить общую закономерность:
Теперь найдем производную функции : 
Заметим следующее: если дробь
записать как
где
(т. е. как степень с отрицательным показателем), то
Если заменим
-n на
k, то
получим
т. е. формула дифференцирования степени, полученная нами для
натуральных показателей, остается верной и для целых отрицательных
показателей:
|
 |
| Выведенная формула остается верной и для дробных
показателей. |
Возьмем известный уже нам случай
 Это функция
По формуле получится:
|
|
2. Производная рациональной функции
Рациональная функция задается формулой
где
и
– многочлены. Производную многочлена мы найдем легко, зная
производную степени и правила дифференцирования.
По правилу дифференцирования дроби получим:
|
|
Примеры.
1)
Разумеется, промежуточное равенство лишнее. Ответ можно записать
сразу.
2)
Иногда полезно перед дифференцированием дроби сделать
преобразования.
3)
Делим почленно:
4)
5)
Если прямо применять формулу, то получим
Можно поступить иначе: 
Обратите внимание на то, что если
– корень знаменателя рациональной дроби кратности
k, то
будет корнем знаменателя производной кратности, на единицу большей.
|
| |