1. Производная обратной функции
Выведем общую формулу производной обратной функции. Пусть  f  и  g  – взаимно обратные функции. Как найти производную функции  g,  зная производную функции  f?
Графики функций    и    симметричны друг другу относительно биссектрисы  l  угла  хОу.  Возьмем какую-нибудь точку    и вычислим значение одной из функций в этой точке:    Тогда по определению обратной функции  
Точки    и    симметричны относительно указанной прямой  l.  Так как кривые симметричны, то и касательные к ним симметричны относительно прямой  l.
Из симметрии ясно, что угол одной из этих прямых с осью  х  равен углу другой прямой с осью  у.  Если первая прямая образует с осью  х  угол    то ее угловой коэффициент равен    тогда вторая прямая имеет угловой коэффициент  
Таким образом, угловые коэффициенты прямых, симметричных относительно прямой  l,  взаимно обратны, т .е.  

Переходя к производным и учитывая, что угловой коэффициент касательной является значением производной в точке касания, делаем вывод:
 

Замечание. В приведенных выше рассуждениях предполагалось, что    т. е. касательные к кривым не параллельны осям координат.