Наиболее простой способ задания последовательности – это ее задание с помощью формулы общего члена, т. е. формулы, явно выражающей зависимость  n-ого члена последовательности от  n.
Например, формула  a_n = 2n  задает последовательность четных чисел  2,  4,  6,  8,  … .
Другим важным способом задания последовательности является так называемый рекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее n-ый член последовательности с одним или несколькими предыдущими. Слово рекуррентный происходит от латинского слова рекурсия, что означает возврат. Вычисляя новый, очередной член последовательности, мы как бы возвращаемся назад, к уже вычисленным, предыдущим членам.

Последовательность может быть задана словесным описанием, в котором определяется процесс построения членов последовательности.
Например, описание «пусть  a_n – это n-ое простое число» задает последовательность  2,  3,  5,  7,  11,  13, …, члены которой берутся из таблицы простых чисел или вычисляются каким-либо другим способом (например, с помощью решета Эратосфена).
Последовательность является дискретным вариантом понятия функции. В отличие от привычной функции типа  y = f(x),  аргумент которой  x  определен на некотором числовом промежутке, последовательность  а₁,  а₂,  …,  …  можно считать функцией, аргумент которой  n  принимает дискретный ряд значений n = 1,  2,  3, … . Часто ее  n-ый член можно выразить как значение некоторой обычной функции  y = f(x)  для  x = n:  a_n = f(n).

Числовые последовательности могут обладать свойствами, которые мы обсуждали при изучении обычных функций.

Аналогично дается определение убывающей числовой последовательности.
Вместе возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.
Последовательность  a₁,  a₂,  …  можно изобразить «графиком», который будет состоять из отдельных точек координатной плоскости.

Так же, как и для обычных функций, по графику можно судить о различных свойствах последовательностей. Возрастающие и убывающие последовательности изображаются точками, лежащими на графиках монотонных функций.

Если последовательность является возрастающей, то для ее ограниченности достаточно найти число  С  такое, что  a_n C  при всех  n.  Наоборот, для ограниченности убывающей последовательности достаточно проверить неравенство вида  a_n C,  которое должно выполняться для всех  n.  Вообще, если для всех членов последовательности выполняется неравенство  a_n C  (a_n C),  то говорят, что она ограничена сверху (снизу). Если мы говорим об ограниченной последовательности, то ясно, что она ограничена как сверху, так и снизу.
Так же, как над произвольными функциями (заданными на одном и том же множестве), над последовательностями можно производить арифметические операции: сложение (вычитание) и умножение (деление).

Аналогично перемножаются две последовательности:  d₁ = a₁ b₁,  d₂ = a₂ b₂,  d₃ = a₃ b₃,  … .
Если последовательность  b₁,  b₂,  …  постоянна, т. е. если  b_n = b  для любого  n,  то произведение последовательностей  a₁,  a₂,  … и  b₁,  b₂,  … выглядит так:  ba₁,  ba₂,  …  и называется произведением постоянного числа  b  на последовательность  a₁,  a₂,  … .

Рассматривая эти примеры, можно заметить несколько закономерностей. Если общий член последовательности записывается многочленом от  n,  то степень общего члена разностей будет на единицу меньшей. В примерах  1  и  2  член  a_n  линейно зависит от  n,  в примере  4  квадратично, в примере  6 – зависимость кубическая. Соответствующие последовательности разностей постоянны (степень  0), линейны или квадратичны. В последовательности  3  общий член задан показательной функцией. Общий член последовательностей разностей имеет тот же вид.
Аналогичные наблюдения можно сделать и для последовательности чисел Фибоначчи. Оказывается, что имеется общий закон – если последовательность задается как показательная функция от  n,  то последовательность разностей будет пропорциональна той же показательной функции.
Построение последовательности разностей и ее свойства являются дискретным аналогом вычисления производной. Аналогично суммирование последовательности аналогично другой операции математического анализа – интегрированию.