Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 
Геометрические вероятности и метод Монте-Карло
 

Появление компьютера привело к "обращению" некоторых математических методов: вместо использования аналитических моделей явлений стало возможным изучать математические закономерности экспериментально. В изучении случайных явлений этот подход носит название метода Монте-Карло. В реализации этого метода используются датчики псевдослучайных чисел. Оказалось, что метод Монте-Карло можно применить и к изучению неслучайных явлений, искусственно вводя в них случайные величины.

Создателями метода Монте-Карло считаются Дж. фон Нейман и С. Улам.
Станислав Мартин Улам
Stanisław Marcin Ulam
 Портрет Станислава Улама доступен только при работе в сети Интернет (в силу лицензионных ограничений).

Годы жизни:

1909 – 1984
Джон фон Не́йман
John von Neumann

Годы жизни:

1903 – 1957.

В книге Ф. Мостеллера "Пятьдесят занимательных вероятностных задач" есть интересная подборка задач на геометрические вероятности (эту книгу можно найти на сайте MATH.RU или в электронной библиотеке МЦНМО). Эти задачи можно решить двумя способами:
1) построить аналитическую модель и найти точный ответ;
2) найти приближённый ответ с помощью по методу Монте-Карло с помощью вычислительного эксперимента.

Первый способ подробно описан в решениях задач книги Мостеллера, а о том как использовать компьютер для непосредственного моделирования можно прочитать в статье Н.Н. Паньгиной и А.А. Паньгина "Статистическое моделирование: метод Монте-Карло" (журнал "Компьютерные Инструменты в Образовании №5, 2002, с.30-43; статью можно также получить через Единое Окно Доступа к Образовательным Ресурсам)



 



 
Задания

1) разберите решение задачи о вероятности того, что случайно выбранный приведённый квадратный трёхчлен не имеет (действительных) корней;

2) проведите статистический эксперимент, предложив ученикам своего класса придумать случайные приведённые квадратные трёхчлены и проверить, если у них действительные корни; сравните результаты с теоретическими расчётами;

3) поставьте компьютерный эксперимент для решения этой задачи;

4)* разберите постановку и решение задачи об игле Бюффона;

5) проведите эксперимент по вычислению числа "пи" с помощью метода Монте-Карло (бросая удлинённый предмет на разграфленный лист бумаги);

6) поставьте компьютерный эксперимент для решения этой задачи.
По аналогии с перечисленными можно поставить и решить другие задачи, например:
7) какова вероятность, что случайный приведённый квадратный квадратный трёхчлен имеет два положительных действительных корня; два действительных корня разных знаков;

8) придумайте и решите другие задачи про приведённый квадратный трёхчлен;

9) подсчитайте какие-либо другие числовые статистические характеристики результатов бросания "иглы" на разграфленный лист бумаги (например, число клеток, которые имеют с иглой общие точки, или число пересечённых вертикальных и горизонтальных линий);

10)  поставьте компьютерный эксперимент для решения этой задачи;

11) дайте теоретическое обоснование результатам.
 
<< назад               вперед >>
В оглавление